题目：U658601 四次方程 - 洛谷

前置知识（题目背景）

本题需要的前置知识如下：

1. 一元四次方程，是指含有一个未知数，未知数的最高次数为 4 的方程。通常形式为$ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$。

2. 对于函数$f(x)$，求其导数函数过程如下：

取$f(x)$ 多项式的每一项，如果该项为常数，导数为$0$；否则，对于项$ax^b$，其导数为$bax^{b-1}$。求出多项式每一项的导数后，将各项导数相加，即是多项式函数的导数，通常用$f'(x)$ 表示。这一过程称为“求导”。

例如，对$f(x)=3x^2+2x+1$ 求导，首先对其每一项求导，得到$6x$、$2$ 和$0$，再将各项相加，得到其导数函数为$f'(x) = 6x + 2$。

3. 牛顿迭代法，又称牛顿—哈弗森方法，其求解方程$f(x) = 0$ 的根的步骤为：

令$f'(x)$ 为$f(x)$ 的导数，选取一个适当的初始值$x_0$，以以下公式进行迭代：

持续不断，直到$x_{n} = x_{n-1}$（在编程中可以认为是二者之差的绝对值小于某个误差值），则$x_n$ 为方程$f(x) = 0$ 的一个根。

题面

根据题目背景中的知识介绍，用牛顿迭代法实现一元四次方程$ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$ 的解。你只需要使用牛顿迭代法求出一个解即可。有如下约定：

1. 保证所求出方程的根是$-100 \sim 100$ （包含两端）之间的实数。

2. 保证给出的方程左侧部分函数连续可导，并能使用牛顿迭代法求解。

3. 在使用牛顿迭代法的过程中，初始值$x_0$ 统一从 1 开始。

4. 保证不存在$e = 0$。如遇导数为 0 的情况，直接终止输出即可，不必考虑是否为正解。

5. 当$|x_n - x_{n-1}| \leq 10^{-8}$ 时，认为$x_n$ 是方程的根。

分析

本题是一道较简单的模拟题。只需理解牛顿迭代法的过程，从 1 开始迭代求解即可。

注意过程中要备份一份原来的 $x$，再计算新的 $x$，这样才能够将两者作差进行比较。

代码

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int a, b, c, d, e;
    scanf("%d%d%d%d%d", &a, &b, &c, &d, &e);
    double x = 1.0;
    double prev;
    do {
        prev = x;
        double f = a*x*x*x*x + b*x*x*x + c*x*x + d*x + e;
        double fp = 4*a*x*x*x + 3*b*x*x + 2*c*x + d;
        if (fp == 0) {
            break;
        }
        x = x - f / fp;
    } while (fabs(x - prev) > 1e-8);
    printf("%.3f\n", x);
    return 0;
}